OPERACIONES FUNDAMENTALES DE LOS NÚMEROS

LAS CUATRO OPERACIONES fundamentales del álgebra y la aritmética son la suma, la resta, la multiplicación y la división.

SUMA

LA SUMA O ADICIÓN, de dos números a y b se representa por a + b. Por ejemplo, 7 más 2 o bien 7 y 2, se escribe 3 + 2 = 9.

RESTA

LA RESTA, SUSTRACCIÓN O DIFERENCIA, de un número b de otro a se representa por a – b. Por ejemplo, 4 menos 1, o bien, 1 a 4, se escribe 4 – 1 = 3

La resta es un caso particular de la suma. Esto es, la diferencia a – b es un número x tal que x más b proporciona el número a: x + b = a. Por ejemplo, 4 – 1 es un número x tal que sumado de 1 da 4, es decir, x + 1 = 4, de donde 4 - 1 = 3.

MULTIPLICACIÓN

MULTIPLICACIÓN O PRODUCTO, de dos números a y b es otro número c y se representa así: a x b = c. La operación de multiplicar se puede indicar mediante una cruz, un punto o paréntesis. Por ejemplo, 7 x 6 = 7 · 6 = 7 (6) = (7)(6) = 42, en donde los números 7 y 6 son los factores y 42 el producto.

Nota: Cuando se utiliza letras para representar números, se debe evitar la notación p x q, ya que el símbolo x se puede confundir con una letra que pudiera representar a otro número.

DIVISIÓN

DIVISIÓN O COCIENTE, de un número a entre, o por, otro b, el cociente se representa así: a: b o a/b, en donde a recibe el nombre de dividendo y b de divisor. La expresión a/b también se denomina fracción, siendo a el numerador y b el denominador.

EL CONJUNTO DE NÚMEROS REALES

El conjunto de números reales se establece, hoy en día, como resultado de un proceso gradual de aplicación de otros conjuntos que vamos a reseñar a continuación.

1.- NÚMEROS NATURALES

Los números naturales 1, 2, 3, 4,…… (Los puntos suspensivos significan <<y así sucesivamente >>) que se denominan también números enteros positivos. La suma o la multiplicación de dos números naturales es siempre otro número natural.

N: {1, 2, 3, 4, 5, 6,…….}

2.- LOS NÚMEROS RACIONALES POSITIVOS O FRACCIONES POSITIVAS.

Los números racionales positivos o fracciones positivas son los cocientes de dos enteros positivos; por ejemplo: 7/8, 9/3, 198/54. El conjunto de los números naturales está incluido en el de los números racionales positivos. Esto es, el número racional 8/1 es el número natural 8.

3.- NÚMEROS IRRACIONALES POSITIVOS.

Los números irracionales positivos. Son números no racionales como, por ejemplo √3, π,..

4.- CERO.

Cero, se presenta por 0 y se introduce para ampliar el sistema numérico, de forma que se puedan realizar operaciones tales como 3 – 3, 7 – 7, etc. El cero tiene la propiedad de que cualquier número multiplicado por el da cero. Cero dividido por cualquier número distinto de cero (≠0) es igual a cero.

5.- NÚMEROS NEGATIVOS

Los números negativos son los enteros, racionales e irracionales antepuestos del signo menos de la resta como, por ejemplo, - 6, - 5/7, - √7. El cero se considera como un número racional carente de signo.

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

El conjunto de los números reales está formado por los números racionales e irracionales tanto positivos como negativos, y el número cero.

Nota: La palabra real se emplea para distinguir estos números de otros que se caracterizan por contener el término √-1 y que reciben el nombre de imaginarios. Aunque estos últimos aparecen con suma frecuencia en las matemáticas y ciencias, en general, mientras no se diga lo contrario, trataremos con números reales.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS REALES

Los números reales se pueden representar mediante los infinitos puntos de una recta. Para ello, se elige un punto de la misma que represente al cero y que se toma como origen. Los números positivos, +1, +2, +3,……, se asocian con los puntos de la recta situados a distancias 1, 2, 3,….., unidades, respectivamente, a la derecha del origen, mientras que los enteros negativos -1, -2, -3,…., se asocian con los puntos de la recta situados a 1, 2, 3,…,unidades, respectivamente, a la izquierda del mismo.

El número racional ½ se representa, en esta escala, por un punto P equidistante de los correspondientes al 0 y + 1. El número negativo – ¾, o -1 ½, se representa por un punto R situado una unidad y media a la izquierda del origen.

Se puede decir, que a cada número real le corresponde un solo punto de la recta y, recíprocamente, que a cada punto de la recta le corresponde un solo número real.

LA POSICIÓN DE LOS NÚMEROS REALES.

La posición de los números reales sobre una recta numérica establece un orden en el conjunto de dichos números. Si un punto A está situado a la derecha de otro B de la recta el número correspondiente a A es mayor que el correspondiente a B, o bien, el número correspondiente a B es menor que el correspondiente a A. Las expresiones <<mayor que >> y <<menor que >>se representan por los símbolos > y <, respectivamente, y son <<signos de desigualdad>>.

Por ejemplo, como 9 está a la derecha de 4, 9 es mayor que 4, es decir, 9>5; también se deduce que 4 es menor que 9, y se escribe 4<9. Análogamente, como - 9 está a la izquierda de -4, -9 es más pequeño que -4, es decir, -9 < -4; también se deduce en este caso que -4 > -9.

EL VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número es el correspondiente al número prescindiendo del signo que le afecte. El valor absoluto se representa encerrando el número entre dos barras verticales.

Por ejemplo,

PROPIEDADES DE LA SUMA Y DE LA MULTIPLICACIÓN

1) Propiedad conmutativa de la suma. El orden de los sumandos no altera el valor de la suma.

Es decir:

2) Propiedad asociativa de la suma. Se pueden agrupar los sumandos de cualquier forma sin que se modifique el valor de la suma.

3) Propiedad conmutativa de la multiplicación. El orden de los factores no altera el valor del producto.

Ejemplo:

4) Propiedad asociativa de la multiplicación. Se pueden agrupar los factores de cualquier forma sin que se se modifique el valor del producto.

Ejemplo:

5) Propiedad distributiva de la multiplicación. El producto de un número a por la suma de otros dos (b + c) es igual a la suma de los productos ab y ac.

Ejemplo:

Estas propiedades son susceptibles de una generalización. Quiere decir que se pueden sumar los números a, b, c, d, e, agrupándolos en un orden cualquiera como, por ejemplo, (a + b)+c + (d + e), a + (d + c) + (d + e), etc. Análogamente, en la multiplicación, se puede poner (ab)c(de), o bien, a(bc)(de), siendo el resultado independiente de la forma en que se realice el agrupamiento.

REGLAS DE LOS SIGNOS

1) Para sumar dos números del mismo signo se suman sus valores absolutos y se antepone al resultado dicho signo común.

Por ejemplo,

2) Para sumar dos números de signos diferentes se efectúa la diferencia entre sus valores absolutos y se antepone al resultado el signo del sumando de mayor valor absoluto.

Ejemplos.

3) Para restar un número b de otro a, se cambia el signo de b y se le suma a.

Ejemplos.

4) Para multiplicar (o dividir) dos números del mismo signo se multiplican (o dividen) sus valores absolutos y se antepone al resultado el signo más (o no se pone signo).

Ejemplos:

5) Para multiplicar (o dividir) dos números de signos diferentes, se multiplican (o dividen) los valores absolutos y se antepone al resultado el signo menos.

Ejemplos:

POTENCIAS Y EXPONENTES

Cuando un número a se multiplica consigo mismo n veces, el producto a.a.a.a.a….a (n veces) se representa por el símbolo aⁿ que se lee << potencia enésima de a>> o bien <<a elevado a la potencia n>> o todavía <<a a la n>>.

Ejemplo:

En la potencia aⁿ, el número a recibe el nombre de base y el número positivo y entero n el de exponente.

PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS

Ejemplo:

OPERACIONES CON FRACCIONES

Se efectúan teniendo en cuenta las reglas siguientes:

1) El valor de una fracción no se altera si se multiplican numerador y denominador por un mismo número distinto de cero.

Ejemplo:

2) Si se cambia el signo del numerador , o el del denominador, de una fracción, ésta cambia de signo.

Ejemplo:

3) La suma de dos fracciones del mismo denominador es igual a una fracción que tiene por numerador la suma de los numeradores y por denominador dicho denominador común.

Ejemplo:

) La suma de dos fracciones del distinto denominador se efectúa como en 3) una vez que se hayan transformado las fracciones a un denominador común.

Ejemplo:

5) El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es igual al producto de los numeradores y el denominador igual al producto de los denominadores.

Ejemplo:

6) El recíproco de una fracción es la fracción cuyo numerador y cuyo denominador son, respectivamente, el denominador y numerador de la fracción dada. Así, pues, el recíproco de 3 (es decir, 3/1) es 1/3. Análogamente, los recíprocos de 5/8 y – 4/3 son 8/5 y – ¾, respectivamente.

Ejemplo: